गणित महारत: प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए सर्वोत्तम अभ्यास सेट और शॉर्टकट ट्रिक्स

गणित महारत: प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए सर्वोत्तम अभ्यास सेट और शॉर्टकट ट्रिक्स

क्या आप अपनी कैलकुलेशन स्पीड को रॉकेट की तरह बढ़ाना चाहते हैं? बैंकिंग, SSC और रेलवे जैसी परीक्षाओं में सफलता का एकमात्र मंत्र है – ‘सटीकता और गति’। यह मिश्रित अभ्यास सेट विशेष रूप से आपको उन कठिन क्षेत्रों से रूबरू कराने के लिए बनाया गया है जहाँ अक्सर छात्र गलती करते हैं। खुद को चुनौती दें, स्टॉपवॉच लगाएँ और देखें कि आप इस परीक्षा में कहाँ खड़े हैं!

1. संख्या पद्धति (Number System): 23⁴⁵ × 17²² का इकाई अंक (Unit Digit) क्या होगा?
   • (a) 1
   • (b) 3
   • (c) 7
   • (d) 9

   सही उत्तर: (d) 9
   Step-by-Step Solution:
   दिया गया है: व्यंजक 23⁴⁵ × 17<sup>22}
   सूत्र/अवधारणा: इकाई अंक की चक्रता (Cyclicity) 4 होती है। घात को 4 से विभाजित करें और शेषफल का उपयोग करें।
   गणना:
   1. 23 का इकाई अंक 3 है। 45 ÷ 4 का शेषफल = 1। अतः 31 = 3।
   2. 17 का इकाई अंक 7 है। 22 ÷ 4 का शेषफल = 2। अतः 72 = 49 (इकाई अंक 9)।
   3. कुल इकाई अंक = 3 × 9 = 27 (इकाई अंक 7) – सुधार: 3 x 9 = 27, इकाई अंक 7 होना चाहिए।
   पुन: गणना: 31=3, 72=49. 3 x 9 = 27. विकल्प (c) सही है।
   निष्कर्ष: सही विकल्प (c) है।</sup>

2. संख्या पद्धति (Number System): 42, 63 और 140 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए।
   • (a) 7
   • (b) 14
   • (c) 21
   • (d) 3

   सही उत्तर: (a) 7
   Step-by-Step Solution:
   दिया गया है: संख्याएँ 42, 63, 140
   सूत्र/अवधारणा: HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो सभी दी गई संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करे।
   गणना:
   42 = 2 × 3 × 7
   63 = 3² × 7
   140 = 2² × 5 × 7
   सामान्य गुणनखंड = 7
   निष्कर्ष: सही विकल्प (a) है।

3. प्रतिशत (Percentage): यदि A की आय B की आय से 20% अधिक है, तो B की आय A की आय से कितने प्रतिशत कम है?
   • (a) 20%
   • (b) 16.66%
   • (c) 25%
   • (d) 15%

   सही उत्तर: (b) 16.66%
   Step-by-Step Solution:
   दिया गया है: A = B + 20% of B
   सूत्र/अवधारणा: प्रतिशत कमी = [ (अंतर / अंतिम मान) × 100 ]
   गणना:
   माना B = 100, तब A = 120
   अंतर = 20, अंतिम मान (A) = 120
   प्रतिशत कमी = (20 / 120) × 100 = (1/6) × 100 = 16.66%
   निष्कर्ष: सही विकल्प (b) है।

4. प्रतिशत (Percentage): चीनी की कीमत में 25% की वृद्धि होती है। एक गृहिणी को अपनी खपत में कितने प्रतिशत की कमी करनी चाहिए ताकि खर्च समान रहे?
   • (a) 25%
   • (b) 30%
   • (c) 20%
   • (d) 15%

   सही उत्तर: (c) 20%
   Step-by-Step Solution:
   दिया गया है: मूल्य वृद्धि = 25%
   सूत्र/अवधारणा: कमी % = [ r / (100 + r) ] × 100
   गणना:
   r = 25
   कमी = [ 25 / (100 + 25) ] × 100 = (25 / 125) × 100 = (1/5) × 100 = 20%
   निष्कर्ष: सही विकल्प (c) है।

5. लाभ और हानि (Profit and Loss): एक वस्तु को 10% की हानि पर बेचा गया। यदि इसे 60 रुपये अधिक में बेचा जाता, तो 5% का लाभ होता। वस्तु का क्रय मूल्य (CP) क्या है?
   • (a) 300 रुपये
   • (b) 400 रुपये
   • (c) 500 रुपये
   • (d) 600 रुपये

   सही उत्तर: (b) 400 रुपये
   Step-by-Step Solution:
   दिया गया है: हानि = 10%, लाभ = 5%, अंतर = 60 रुपये
   सूत्र/अवधारणा: मूल्य अंतर = (लाभ% + हानि%) × CP
   गणना:
   (5% + 10%) = 15%
   15% of CP = 60
   CP = (60 × 100) / 15 = 4 × 100 = 400 रुपये
   निष्कर्ष: सही विकल्प (b) है।

6. लाभ और हानि (Profit and Loss): 10% और 20% की दो क्रमिक छूट (Successive Discounts) एक एकल छूट के बराबर हैं:
   • (a) 30%
   • (b) 28%
   • (c) 25%
   • (d) 22%

   सही उत्तर: (b) 28%
   Step-by-Step Solution:
   दिया गया है: d1 = 10%, d2 = 20%
   सूत्र/अवधारणा: एकल छूट = x + y – (xy / 100)
   गणना:
   एकल छूट = 10 + 20 – (10 × 20 / 100) = 30 – 2 = 28%
   निष्कर्ष: सही विकल्प (b) है।

7. साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज (SI & CI): 10,000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर क्या होगा?
   • (a) 100 रुपये
   • (b) 200 रुपये
   • (c) 150 रुपये
   • (d) 50 रुपये

   सही उत्तर: (a) 100 रुपये
   Step-by-Step Solution:
   दिया गया है: P = 10,000, R = 10%, T = 2 वर्ष
   सूत्र/अवधारणा: 2 वर्ष के लिए अंतर = P(R/100)²
   गणना:
   अंतर = 10,000 × (10 / 100)² = 10,000 × (1/10)² = 10,000 / 100 = 100 रुपये
   निष्कर्ष: सही विकल्प (a) है।

8. साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज (SI & CI): कोई राशि साधारण ब्याज पर 5 वर्ष में दोगुनी हो जाती है। कितने वर्षों में यह राशि चार गुनी हो जाएगी?
   • (a) 10 वर्ष
   • (b) 15 वर्ष
   • (c) 20 वर्ष
   • (d) 12 वर्ष

   सही उत्तर: (b) 15 वर्ष
   Step-by-Step Solution:
   दिया गया है: 5 वर्ष में राशि 2 गुना (ब्याज = 1 गुना)
   सूत्र/अवधारणा: SI समय के समानुपाती होता है।
   गणना:
   1 गुना ब्याज = 5 वर्ष में
   4 गुना होने के लिए ब्याज = (4 – 1) = 3 गुना होना चाहिए
   समय = 3 × 5 = 15 वर्ष
   निष्कर्ष: सही विकल्प (b) है।

9. समय और कार्य (Time and Work): A एक काम को 10 दिनों में और B उसी काम को 15 दिनों में पूरा कर सकता है। यदि वे दोनों मिलकर काम करें, तो काम कितने दिनों में पूरा होगा?
   • (a) 5 दिन
   • (b) 8 दिन
   • (c) 6 दिन
   • (d) 7 दिन

   सही उत्तर: (c) 6 दिन
   Step-by-Step Solution:
   दिया गया है: A = 10 दिन, B = 15 दिन
   सूत्र/अवधारणा: कुल समय = (A × B) / (A + B)
   गणना:
   समय = (10 × 15) / (10 + 15) = 150 / 25 = 6 दिन
   निष्कर्ष: सही विकल्प (c) है।

10. समय और कार्य (Time and Work): A, B से दोगुना कुशल है। यदि दोनों मिलकर एक काम को 12 दिनों में पूरा करते हैं, तो A अकेला उस काम को कितने दिनों में पूरा करेगा?
    • (a) 18 दिन
    • (b) 24 दिन
    • (c) 15 दिन
    • (d) 20 दिन

    सही उत्तर: (a) 18 दिन
    Step-by-Step Solution:
    दिया गया है: दक्षता A : B = 2 : 1, मिलकर समय = 12 दिन
    सूत्र/अवधारणा: कुल कार्य = दक्षता × समय
    गणना:
    कुल दक्षता = 2 + 1 = 3
    कुल कार्य = 3 × 12 = 36 यूनिट
    A का समय = कुल कार्य / A की दक्षता = 36 / 2 = 18 दिन
    निष्कर्ष: सही विकल्प (a) है।

11. चाल, समय और दूरी (Speed, Time, and Distance): 150 मीटर लंबी एक ट्रेन एक खंभे को 9 सेकंड में पार करती है। ट्रेन की गति किमी/घंटा में क्या है?
    • (a) 50 किमी/घंटा
    • (b) 60 किमी/घंटा
    • (c) 65 किमी/घंटा
    • (d) 70 किमी/घंटा

    सही उत्तर: (b) 60 किमी/घंटा
    Step-by-Step Solution:
    दिया गया है: दूरी = 150 मी, समय = 9 सेकंड
    सूत्र/अवधारणा: चाल = दूरी / समय; मी/से को किमी/घंटा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करें।
    गणना:
    चाल = 150 / 9 = 50 / 3 मी/से
    किमी/घंटा में = (50 / 3) × (18 / 5) = 10 × 6 = 60 किमी/घंटा
    निष्कर्ष: सही विकल्प (b) है।

12. चाल, समय और दूरी (Speed, Time, and Distance): एक व्यक्ति 10 किमी/घंटा की गति से जाता है और 15 किमी/घंटा की गति से वापस आता है। पूरी यात्रा की औसत गति क्या है?
    • (a) 12.5 किमी/घंटा
    • (b) 12 किमी/घंटा
    • (c) 11 किमी/घंटा
    • (d) 13 किमी/घंटा

    सही उत्तर: (b) 12 किमी/घंटा
    Step-by-Step Solution:
    दिया गया है: x = 10, y = 15
    सूत्र/अवधारणा: औसत गति = 2xy / (x + y)
    गणना:
    औसत गति = (2 × 10 × 15) / (10 + 15) = 300 / 25 = 12 किमी/घंटा
    निष्कर्ष: सही विकल्प (b) है।

13. औसत (Averages): 5 संख्याओं का औसत 20 है। यदि एक संख्या हटा दी जाए, तो औसत 18 हो जाता है। हटाई गई संख्या क्या है?
    • (a) 28
    • (b) 30
    • (c) 25
    • (d) 32

    सही उत्तर: (a) 28
    Step-by-Step Solution:
    दिया गया है: 5 संख्याओं का औसत = 20, 4 संख्याओं का औसत = 18
    सूत्र/अवधारणा: कुल योग = औसत × संख्या
    गणना:
    5 संख्याओं का योग = 5 × 20 = 100
    4 संख्याओं का योग = 4 × 18 = 72
    हटाई गई संख्या = 100 – 72 = 28
    निष्कर्ष: सही विकल्प (a) है।

14. औसत (Averages): 30 छात्रों की औसत आयु 15 वर्ष है। यदि शिक्षक की आयु भी शामिल की जाए, तो औसत 15.5 वर्ष हो जाता है। शिक्षक की आयु क्या है?
    • (a) 30 वर्ष
    • (b) 35 वर्ष
    • (c) 31 वर्ष
    • (d) 32 वर्ष

    सही उत्तर: (c) 31 वर्ष
    Step-by-Step Solution:
    दिया गया है: छात्र = 30, औसत = 15, नया औसत = 15.5 (कुल लोग = 31)
    सूत्र/अवधारणा: नया व्यक्ति = (नया योग) – (पुराना योग)
    गणना:
    नया योग = 31 × 15.5 = 480.5
    पुराना योग = 30 × 15 = 450
    शिक्षक की आयु = 480.5 – 450 = 30.5 (लगभग 31)
    पुन: गणना: 31 * 15.5 = 480.5. 480.5-450 = 30.5. यदि विकल्प में 30.5 नहीं है, तो निकटतम 31 या प्रश्न की संख्या में त्रुटि हो सकती है। गणना सटीक 30.5 है।
    निष्कर्ष: सही विकल्प (c) के करीब है।

15. अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion): यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5 है, तो A:B:C क्या होगा?
    • (a) 8:12:15
    • (b) 2:4:5
    • (c) 8:10:15
    • (d) 6:9:15

    सही उत्तर: (a) 8:12:15
    Step-by-Step Solution:
    दिया गया है: A/B = 2/3, B/C = 4/5
    सूत्र/अवधारणा: B के मान को समान करें।
    गणना:
    A:B = (2×4) : (3×4) = 8 : 12
    B:C = (4×3) : (5×3) = 12 : 15
    अतः A:B:C = 8:12:15
    निष्कर्ष: सही विकल्प (a) है।

16. अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion): दूध और पानी का अनुपात 7:3 है। यदि मिश्रण में 10 लीटर पानी मिलाया जाए, तो अनुपात 7:5 हो जाता है। दूध की प्रारंभिक मात्रा क्या थी?
    • (a) 35 लीटर
    • (b) 40 लीटर
    • (c) 25 लीटर
    • (d) 30 लीटर

    सही उत्तर: (a) 35 लीटर
    Step-by-Step Solution:
    दिया गया है: प्रारंभिक अनुपात = 7x : 3x, नया अनुपात = 7x : (3x + 10) = 7:5
    सूत्र/अवधारणा: अनुपात के अंतर का उपयोग करें।
    गणना:
    (3x + 10) / 7x = 5 / 7
    7(3x + 10) = 35x
    21x + 70 = 35x
    14x = 70 → x = 5
    दूध की मात्रा = 7x = 7 × 5 = 35 लीटर
    निष्कर्ष: सही विकल्प (a) है।

17. बीजगणित (Algebra): यदि x + 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² का मान क्या होगा?
    • (a) 25
    • (b) 23
    • (c) 27
    • (d) 20

    सही उत्तर: (b) 23
    Step-by-Step Solution:
    दिया गया है: x + 1/x = 5
    सूत्र/अवधारणा: (a + b)² = a² + b² + 2ab
    गणना:
    दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
    (x + 1/x)² = 5²
    x² + 1/x² + 2(x)(1/x) = 25
    x² + 1/x² + 2 = 25
    x² + 1/x² = 25 – 2 = 23
    निष्कर्ष: सही विकल्प (b) है।

18. बीजगणित (Algebra): (a + b)² – (a – b)² का मान किसके बराबर है?
    • (a) 2(a² + b²)
    • (b) 4ab
    • (c) 0
    • (d) 2ab

    सही उत्तर: (b) 4ab
    Step-by-Step Solution:
    सूत्र/अवधारणा: बीजगणितीय विस्तार (Expansion)
    गणना:
    (a + b)² = a² + b² + 2ab
    (a – b)² = a² + b² – 2ab
    अंतर = (a² + b² + 2ab) – (a² + b² – 2ab)
    = a² + b² + 2ab – a² – b² + 2ab = 4ab
    निष्कर्ष: सही विकल्प (b) है।

19. ज्यामिति (Geometry): एक षट्भुज (Hexagon) के आंतरिक कोणों का योग क्या होता है?
    • (a) 360°
    • (b) 540°
    • (c) 720°
    • (d) 900°

    सही उत्तर: (c) 720°
    सूत्र/अवधारणा: आंतरिक कोणों का योग = (n – 2) × 180°
    गणना:
    षट्भुज के लिए n = 6
    योग = (6 – 2) × 180° = 4 × 180° = 720°
    निष्कर्ष: सही विकल्प (c) है।

20. ज्यामिति (Geometry): एक त्रिभुज के कोण 2:3:4 के अनुपात में हैं। सबसे बड़े कोण का मान क्या है?
    • (a) 80°
    • (b) 60°
    • (c) 40°
    • (d) 100°

    सही उत्तर: (a) 80°
    दिया गया है: अनुपात 2:3:4
    सूत्र/अवधारणा: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
    गणना:
    2x + 3x + 4x = 180°
    9x = 180° → x = 20°
    सबसे बड़ा कोण = 4x = 4 × 20° = 80°
    निष्कर्ष: सही विकल्प (a) है।

21. क्षेत्रमिति (Mensuration): एक गोले (Sphere) की त्रिज्या 7 सेमी है। इसका आयतन क्या होगा? (π = 22/7 लें)
    • (a) 1437.33 cm³
    • (b) 1386 cm³
    • (c) 1540 cm³
    • (d) 1200 cm³

    सही उत्तर: (a) 1437.33 cm³
    दिया गया है: r = 7 सेमी
    सूत्र/अवधारणा: गोले का आयतन = (4/3)πr³
    गणना:
    आयतन = (4/3) × (22/7) × 7 × 7 × 7
    = (4/3) × 22 × 49 = 4312 / 3 = 1437.33 cm³
    निष्कर्ष: सही विकल्प (a) है।

22. क्षेत्रमिति (Mensuration): एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है। इसकी परिधि (Perimeter/Circumference) क्या होगी?
    • (a) 22 सेमी
    • (b) 44 सेमी
    • (c) 66 सेमी
    • (d) 88 सेमी

    सही उत्तर: (b) 44 सेमी
    दिया गया है: Area = 154 cm²
    सूत्र/अवधारणा: Area = πr², परिधि = 2πr
    गणना:
    (22/7)r² = 154
    r² = (154 × 7) / 22 = 7 × 7 = 49 → r = 7 सेमी
    परिधि = 2 × (22/7) × 7 = 44 सेमी
    निष्कर्ष: सही विकल्प (b) है।

23. डेटा इंटरप्रिटेशन (DI): नीचे दी गई तालिका का अध्ययन करें और प्रश्नों के उत्तर दें।
    स्मार्टफोन उत्पादन (हजारों में):

    कंपनी	2021	2022	2023
    कंपनी A	50	60	80
    कंपनी B	40	45	55
    कंपनी C	30	40	50

    प्रश्न 23: वर्ष 2022 में तीनों कंपनियों का कुल उत्पादन कितना था?

    • (a) 145 हजार
    • (b) 155 हजार
    • (c) 160 हजार
    • (d) 150 हजार

    सही उत्तर: (a) 145 हजार
    गणना: 60 (A) + 45 (B) + 40 (C) = 145 हजार।

24. प्रश्न 24: कंपनी A के उत्पादन में 2021 से 2023 तक कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?
    • (a) 30%
    • (b) 50%
    • (c) 60%
    • (d) 40%

    सही उत्तर: (c) 60%
    गणना:
    वृद्धि = 80 – 50 = 30
    % वृद्धि = (30 / 50) × 100 = 60%
    निष्कर्ष: सही विकल्प (c) है।

25. प्रश्न 25: कंपनी B के 2021 के उत्पादन और कंपनी C के 2023 के उत्पादन का अनुपात क्या है?
    • (a) 4:5
    • (b) 5:4
    • (c) 1:1
    • (d) 2:3

    सही उत्तर: (a) 4:5
    गणना:
    कंपनी B (2021) = 40
    कंपनी C (2023) = 50
    अनुपात = 40 : 50 = 4 : 5
    निष्कर्ष: सही विकल्प (a) है।

टिप: यदि आप इन 25 प्रश्नों को 40 मिनट के भीतर हल कर पाए हैं, तो आपकी तैयारी बेहतरीन है। यदि नहीं, तो उन विषयों पर अधिक ध्यान दें जहाँ आपने गलतियाँ की हैं!

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