गणित अभ्यास सेट: प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न

सही उत्तर: (a) ₹5400

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • प्रारंभिक लाभ = 15%
  • यदि ₹270 अधिक में बेचा जाता है, तो लाभ = 20%
• सूत्र/अवधारणा:
  • क्रय मूल्य (CP) को 100% मानकर गणना की जाती है।
  • लाभ प्रतिशत में अंतर क्रय मूल्य के प्रतिशत के बराबर होता है जो मूल्य के अंतर से संबंधित है।
• गणना:
  • लाभ प्रतिशत में अंतर = 20% – 15% = 5%
  • यह 5% लाभ का अंतर ₹270 के बराबर है।
  • तो, 5% = ₹270
  • 1% = ₹270 / 5 = ₹54
  • क्रय मूल्य (CP) = 100% = 100 * ₹54 = ₹5400
• निष्कर्ष: वस्तु का क्रय मूल्य ₹5400 है।

सही उत्तर: (a) 70000

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • विजेता को 60% मत प्राप्त हुए।
  • जीत का अंतर = 14000 मत।
• सूत्र/अवधारणा:
  • कुल मतों को 100% मानें।
  • दूसरे उम्मीदवार के मत = 100% – विजेता के मत।
  • जीत का अंतर = विजेता के मत – हारने वाले के मत।
• गणना:
  • विजेता को मिले मत = 60%
  • हारने वाले को मिले मत = 100% – 60% = 40%
  • मतों का अंतर = 60% – 40% = 20%
  • यह 20% मतों का अंतर 14000 मतों के बराबर है।
  • तो, 20% = 14000
  • 1% = 14000 / 20 = 700
  • कुल मत = 100% = 100 * 700 = 70000
• निष्कर्ष: कुल मतों की संख्या 70000 है।

सही उत्तर: (a) ₹1500

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • क्रय मूल्य (CP) = ₹1200
  • लाभ = 25%
• सूत्र/अवधारणा:
  • विक्रय मूल्य (SP) = CP * (100 + लाभ%) / 100
• गणना:
  • लाभ = 25%
  • विक्रय मूल्य = 1200 * (100 + 25) / 100
  • विक्रय मूल्य = 1200 * 125 / 100
  • विक्रय मूल्य = 12 * 125 = ₹1500
• निष्कर्ष: वस्तु का विक्रय मूल्य ₹1500 है।

सही उत्तर: (b) 4% हानि

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • दोनों वस्तुओं का विक्रय मूल्य = ₹4800 प्रत्येक।
  • एक पर 20% लाभ, दूसरी पर 20% हानि।
• सूत्र/अवधारणा:
  • जब दो वस्तुओं को समान विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है और एक पर x% लाभ तथा दूसरी पर x% हानि होती है, तो हमेशा हानि होती है।
  • हानि प्रतिशत = (x/10)^2 %
• गणना:
  • यहां, x = 20%
  • हानि प्रतिशत = (20/10)^2 %
  • हानि प्रतिशत = (2)^2 % = 4%
• निष्कर्ष: पूरे सौदे में उसे 4% की हानि हुई।

सही उत्तर: (a) 6 दिन

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • A कार्य को 10 दिनों में कर सकता है।
  • B कार्य को 15 दिनों में कर सकता है।
• सूत्र/अवधारणा:
  • यदि A x दिनों में कार्य करता है और B y दिनों में, तो वे मिलकर (x*y)/(x+y) दिनों में कार्य करेंगे।
  • वैकल्पिक रूप से, कुल कार्य को LCM के रूप में लेकर प्रति दिन का कार्य ज्ञात करें।
• गणना:
  • A का 1 दिन का कार्य = 1/10
  • B का 1 दिन का कार्य = 1/15
  • दोनों का 1 दिन का कार्य = 1/10 + 1/15 = (3+2)/30 = 5/30 = 1/6
  • तो, वे मिलकर कार्य को 6 दिनों में पूरा करेंगे।
• निष्कर्ष: कार्य 6 दिनों में पूरा होगा।

सही उत्तर: (a) 16

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • M1 = 12 आदमी, D1 = 20 दिन।
  • D2 = 15 दिन।
  • M2 = ?
• सूत्र/अवधारणा:
  • M1 * D1 = M2 * D2 (जहां कार्य समान हो)
• गणना:
  • 12 * 20 = M2 * 15
  • 240 = 15 * M2
  • M2 = 240 / 15 = 16
• निष्कर्ष: उसी काम को 15 दिनों में पूरा करने के लिए 16 आदमियों की आवश्यकता होगी।

सही उत्तर: (b) 48 किमी/घंटा

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • जाते समय चाल (x) = 60 किमी/घंटा
  • आते समय चाल (y) = 40 किमी/घंटा
• सूत्र/अवधारणा:
  • यदि कोई व्यक्ति समान दूरी को दो भिन्न चालों (x और y) से तय करता है, तो औसत चाल = (2xy) / (x+y)
• गणना:
  • x = 60, y = 40
  • औसत चाल = (2 * 60 * 40) / (60 + 40)
  • औसत चाल = (4800) / (100) = 48 किमी/घंटा
• निष्कर्ष: पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल 48 किमी/घंटा है।

सही उत्तर: (a) 150 मीटर

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • ट्रेन की चाल = 72 किमी/घंटा
  • प्लेटफॉर्म की लंबाई = 250 मीटर
  • समय = 20 सेकंड
• सूत्र/अवधारणा:
  • चाल = दूरी / समय।
  • किलोमीटर/घंटा को मीटर/सेकंड में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें।
  • जब ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई।
• गणना:
  • चाल को मीटर/सेकंड में बदलें: 72 * (5/18) = 4 * 5 = 20 मीटर/सेकंड।
  • मान लीजिए ट्रेन की लंबाई L मीटर है।
  • तय की गई कुल दूरी = L + 250 मीटर।
  • दूरी = चाल * समय
  • L + 250 = 20 * 20
  • L + 250 = 400
  • L = 400 – 250 = 150 मीटर।
• निष्कर्ष: ट्रेन की लंबाई 150 मीटर है।

सही उत्तर: (a) ₹800

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • मूलधन (P) = ₹8000
  • दर (R) = 5% प्रति वर्ष
  • समय (T) = 2 वर्ष
• सूत्र/अवधारणा:
  • साधारण ब्याज (SI) = (P * R * T) / 100
• गणना:
  • SI = (8000 * 5 * 2) / 100
  • SI = 80 * 5 * 2
  • SI = 400 * 2 = ₹800
• निष्कर्ष: 2 वर्ष का साधारण ब्याज ₹800 है।

सही उत्तर: (b) ₹2100

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • मूलधन (P) = ₹10000
  • दर (R) = 10% प्रति वर्ष
  • समय (T) = 2 वर्ष
• सूत्र/अवधारणा:
  • चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = P * [(1 + R/100)^T – 1] या प्रभावी ब्याज दर विधि।
• गणना:
  • वर्ष 1 का ब्याज = 10% of 10000 = ₹1000
  • वर्ष 2 का ब्याज = 10% of (10000 + 1000) = 10% of 11000 = ₹1100
  • कुल चक्रवृद्धि ब्याज = ₹1000 + ₹1100 = ₹2100
  • वैकल्पिक विधि (प्रभावी दर):
  • 2 वर्षों के लिए 10% की प्रभावी दर = 10 + 10 + (10*10)/100 = 20 + 1 = 21%
  • CI = 21% of 10000 = (21/100) * 10000 = ₹2100
• निष्कर्ष: 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹2100 है।

सही उत्तर: (b) 25.5

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • पहली 50 प्राकृतिक संख्याएँ।
• सूत्र/अवधारणा:
  • पहली ‘n’ प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n + 1) / 2
• गणना:
  • यहां n = 50
  • औसत = (50 + 1) / 2 = 51 / 2 = 25.5
• निष्कर्ष: पहली 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत 25.5 है।

सही उत्तर: (b) 41 किग्रा

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • 10 छात्रों का औसत वजन = 30 किग्रा।
  • नए छात्र के शामिल होने से औसत 1 किग्रा बढ़ जाता है।
• सूत्र/अवधारणा:
  • कुल वजन = औसत * संख्या।
• गणना:
  • प्रारंभिक कुल वजन = 10 * 30 = 300 किग्रा
  • नए छात्र के शामिल होने के बाद, छात्रों की संख्या = 10 + 1 = 11
  • नया औसत वजन = 30 + 1 = 31 किग्रा
  • नया कुल वजन = 11 * 31 = 341 किग्रा
  • नए छात्र का वजन = नया कुल वजन – प्रारंभिक कुल वजन
  • नए छात्र का वजन = 341 – 300 = 41 किग्रा
• निष्कर्ष: नए छात्र का वजन 41 किग्रा है।

सही उत्तर: (b) ₹360

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • कुल राशि = ₹1200
  • अनुपात = 2:3:5
• सूत्र/अवधारणा:
  • अनुपात के योग से प्रत्येक भाग का मान ज्ञात करें।
• गणना:
  • अनुपात का योग = 2 + 3 + 5 = 10
  • B का हिस्सा = (B का अनुपात / कुल अनुपात) * कुल राशि
  • B का हिस्सा = (3 / 10) * 1200
  • B का हिस्सा = 3 * 120 = ₹360
• निष्कर्ष: B का हिस्सा ₹360 होगा।

सही उत्तर: (b) 6:8:9

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • A:B = 3:4
  • B:C = 8:9
• सूत्र/अवधारणा:
  • दोनों अनुपातों में सामान्य पद (B) को बराबर करें।
• गणना:
  • A:B = 3:4
  • B:C = 8:9
  • B को समान बनाने के लिए, पहले अनुपात को 2 से गुणा करें (4 * 2 = 8):
  • A:B = (3*2) : (4*2) = 6:8
  • अब, A:B:C = 6:8:9
• निष्कर्ष: A:B:C = 6:8:9 है।

सही उत्तर: (c) 2

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • सबसे छोटी अभाज्य संख्या ज्ञात करनी है।
• सूत्र/अवधारणा:
  • अभाज्य संख्या वह संख्या होती है जिसके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह स्वयं।
  • 1 एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक ही गुणनखंड है।
  • 0 एक अभाज्य संख्या नहीं है।
• गणना:
  • संख्या 2 के गुणनखंड 1 और 2 हैं।
  • यह सबसे छोटी संख्या है जो अभाज्य है।
• निष्कर्ष: सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है।

सही उत्तर: (d) 3

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • संख्या 78*9, 9 से विभाज्य होनी चाहिए।
• सूत्र/अवधारणा:
  • कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।
• गणना:
  • अंकों का योग = 7 + 8 + * + 9 = 24 + *
  • 9 से विभाज्य होने के लिए, 24 + * को 9 का गुणज होना चाहिए।
  • 9 के गुणज हैं 9, 18, 27, 36…
  • यदि 24 + * = 27, तो * = 27 – 24 = 3
  • यह सबसे छोटा संभव अंक है।
• निष्कर्ष: * के स्थान पर 3 आना चाहिए।

सही उत्तर: (a) 23

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • x + 1/x = 5
• सूत्र/अवधारणा:
  • (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
• गणना:
  • दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
  • (x + 1/x)^2 = 5^2
  • x^2 + (1/x)^2 + 2 * x * (1/x) = 25
  • x^2 + 1/x^2 + 2 = 25
  • x^2 + 1/x^2 = 25 – 2
  • x^2 + 1/x^2 = 23
• निष्कर्ष: x^2 + 1/x^2 का मान 23 है।

सही उत्तर: (a) 50°

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • त्रिभुज के दो कोण 60° और 70° हैं।
• सूत्र/अवधारणा:
  • एक त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।
• गणना:
  • तीसरा कोण = 180° – (60° + 70°)
  • तीसरा कोण = 180° – 130°
  • तीसरा कोण = 50°
• निष्कर्ष: तीसरा कोण 50° है।

सही उत्तर: (c) 80 वर्ग सेमी

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • लंबाई (l) = 10 सेमी
  • चौड़ाई (w) = 8 सेमी
• सूत्र/अवधारणा:
  • आयत का क्षेत्रफल = लंबाई * चौड़ाई।
• गणना:
  • क्षेत्रफल = 10 सेमी * 8 सेमी = 80 वर्ग सेमी
• निष्कर्ष: आयत का क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी है।

सही उत्तर: (b) 44 सेमी

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • व्यास (d) = 14 सेमी।
• सूत्र/अवधारणा:
  • वृत्त की परिधि (C) = πd या 2πr (जहां r = d/2)।
• गणना:
  • परिधि = (22/7) * 14
  • परिधि = 22 * 2 = 44 सेमी
• निष्कर्ष: वृत्त की परिधि 44 सेमी है।

सही उत्तर: (b) 290 हजार

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • तालिका में वर्ष 2022 का डेटा।
• सूत्र/अवधारणा:
  • वर्ष 2022 में सभी कंपनियों की कारों की संख्या का योग करें।
• गणना:
  • वर्ष 2022 में कुल उत्पादन = 55 (A) + 55 (B) + 60 (C) + 50 (D) + 70 (E)
  • = 110 + 60 + 50 + 70
  • = 170 + 120 = 290 हजार
• निष्कर्ष: वर्ष 2022 में सभी कंपनियों द्वारा उत्पादित कारों की कुल संख्या 290 हजार है।

सही उत्तर: (c) 55 हजार

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • वर्ष 2020 से 2024 तक कंपनी A का उत्पादन डेटा।
• सूत्र/अवधारणा:
  • औसत = (कुल उत्पादन) / (वर्षों की संख्या)।
• गणना:
  • कंपनी A का कुल उत्पादन = 45 + 50 + 55 + 60 + 65 = 275 हजार
  • वर्षों की संख्या = 5
  • औसत उत्पादन = 275 / 5 = 55 हजार
• निष्कर्ष: कंपनी A द्वारा उत्पादित कारों की औसत संख्या 55 हजार है।

सही उत्तर: (b) 127.27%

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • वर्ष 2024 में कंपनी B का उत्पादन = 70 हजार
  • वर्ष 2020 में कंपनी C का उत्पादन = 55 हजार
• सूत्र/अवधारणा:
  • प्रतिशत = (भाग / कुल) * 100।
• गणना:
  • प्रतिशत = (70 / 55) * 100
  • = (14 / 11) * 100
  • = 1.2727 * 100 = 127.27% (लगभग)
• निष्कर्ष: वर्ष 2024 में कंपनी B द्वारा उत्पादित कारों की संख्या, वर्ष 2020 में कंपनी C द्वारा उत्पादित कारों की संख्या का लगभग 127.27% है।

सही उत्तर: (c) 250 हजार

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • कंपनी D का सभी वर्षों का उत्पादन डेटा।
• सूत्र/अवधारणा:
  • कंपनी D के सभी वर्षों के उत्पादन का योग करें।
• गणना:
  • कंपनी D का कुल उत्पादन = 40 (2020) + 45 (2021) + 50 (2022) + 55 (2023) + 60 (2024)
  • = 250 हजार
• निष्कर्ष: कंपनी D द्वारा सभी दिए गए वर्षों में कुल उत्पादित कारों की संख्या 250 हजार है।

सही उत्तर: (d) E

स्टेप-बाय-स्टेप हल:

• दिया गया है:
  • सभी कंपनियों का सभी वर्षों का उत्पादन डेटा।
• सूत्र/अवधारणा:
  • प्रत्येक कंपनी के लिए सभी वर्षों के उत्पादन का योग करें और फिर तुलना करें।
• गणना:
  • कंपनी A का कुल उत्पादन = 45 + 50 + 55 + 60 + 65 = 275 हजार
  • कंपनी B का कुल उत्पादन = 50 + 60 + 55 + 65 + 70 = 300 हजार
  • कंपनी C का कुल उत्पादन = 55 + 50 + 60 + 65 + 70 = 300 हजार
  • कंपनी D का कुल उत्पादन = 40 + 45 + 50 + 55 + 60 = 250 हजार
  • कंपनी E का कुल उत्पादन = 60 + 65 + 70 + 75 + 80 = 350 हजार
  • तुलना करने पर, कंपनी E का उत्पादन सबसे अधिक है (350 हजार)।
• निष्कर्ष: कंपनी E ने दिए गए सभी वर्षों में कुल मिलाकर सबसे अधिक कारों का उत्पादन किया है।